वक्र 4y^{2} = x^{2}(4-x)(x-2) द्वारा परिबद्ध | vedclass

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Question

(C) दिया गया वक्र $4y^{2} = x^{2}(4-x)(x-2)$ है।$y$ के वास्तविक होने के लिए,$(4-x)(x-2) \geq 0$,जिसका अर्थ है $x \in [2, 4]$।हम लिख सकते हैं $|y| = \f

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$\frac{3\pi}{2}$

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(C) दिया गया वक्र $4y^{2} = x^{2}(4-x)(x-2)$ है।$y$ के वास्तविक होने के लिए,$(4-x)(x-2) \geq 0$,जिसका अर्थ है $x \in [2, 4]$।हम लिख सकते हैं $|y| = \frac{|x|}{2} \sqrt{(4-x)(x-2)}$।चूंकि $x \in [2, 4]$,$x$ धनात्मक है,इसलिए $y = \pm \frac{x}{2} \sqrt{-x^{2} + 6x - 8}$।क्षेत्रफल $A = \int_{2}^{4} 2 \cdot \frac{x}{2} \sqrt{-x^{2} + 6x - 8} \, dx = \int_{2}^{4} x \sqrt{-(x^{2} - 6x + 9 - 1)} \, dx = \int_{2}^{4} x \sqrt{1 - (x-3)^{2}} \, dx$।मान लीजिए $x-3 = t$,तो $dx = dt$। जब $x=2, t=-1$; जब $x=4, t=1$।$A = \int_{-1}^{1} (t+3) \sqrt{1-t^{2}} \, dt = \int_{-1}^{1} t \sqrt{1-t^{2}} \, dt + \int_{-1}^{1} 3 \sqrt{1-t^{2}} \, dt$।पहला समाकलन $0$ है क्योंकि फलन विषम है।दूसरा समाकलन $3 	imes (	ext{त्रिज्या } 1 	ext{ वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल}) = 3 	imes \frac{\pi(1)^{2}}{2} = \frac{3\pi}{2}$।

वक्र $4y^{2} = x^{2}(4-x)(x-2)$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ...... के बराबर है।

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